Fungsi Cantor adalah fungsi yang spesial karena fungsi tersebut kontinyu, naik dari 0 menuju 1 tetapi memepunyai turunan nol hampir disemua titik, selain itu fungsi cantor mempunyai julukan seram yaitu Tangga setan (Devil’s staircase).

Sebelum kita mendefinisikan fungsi Cantor, kita harus mengkontruksikan interval-interval sebagai berikut:

Diberikan interval tertutup $[0,1]$ , kemudian bagi menjadi 3 bagian sama panjang lalu hilangkan bagian tengahnya yaitu: interval terbuka $I^1_1=\left(1/3,2/3\right)$ .
Diperoleh 2 interval tertutup $[0,1/3]$ dan $[2/3,1]$ , lakukan hal serupa kepada 2 interval tertutup tadi, hilangkan interval terbuka $I_{1}^{2}=\left(1/9,2/9\right)$ dan $I_{2}^{2}=\left(7/9,8/9\right)$ .
Interval tersisa adalah $\left[0,1/9\right],\left[2/9,1/3\right],\left[2/3,7/9\right]$ dan $\left[8/9,1\right]$ , lakukan hal serupa, hilangkan interval terbuka $I_{1}^{3}=\left(2/27,3/27\right),I_{2}^{3}=\left(7/27,8/27\right)$ dan $I_{4}^{3}=\left(25/27,26/27\right)$ .

Lanjutkan terus langkah diatas, sampai langkah ke-n, interval yang dihilangkan adalah $I_{1}^{n},I_{2}^{n},\ldots,I_{k}^{n},\ldots,I_{2^{n-1}}^{n}$ .

Jika $I$ adalah gabungkan semua $I_k^n$ maka komplemen $I$ adalah himpunan Cantor $C$ .

Fungsi Cantor

Diberikan fungsi cantor, $f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]$ , yang didefinisikan sebagai berikut:

$f\left(x\right)\begin{cases}0 & x=0\\1 & x=1\\k/2^{n} & x\in I_{k}^{n},,k=1,2,\ldots,2^{n-1}\end{cases}$

Contoh:

$f(x)=1/2$ untuk $x\in I_1^1$

$f(x)=2/8$ untuk $x\in I_3^2$

$f(x)=16/32$ untuk $x\in I_{16}^5$

Fungsi Cantor terdefinisi di $I$ tetapi tidak di $C$ , supaya fungsi cantor terdefinisi pada semua titik $[0,1]$ , kita harus membuat fungsi cantor terdefinsi pada $C$ . Diberikan $p\in C$ maka terdapat barisan naik (increasing sequence) ${x_n}$ dengan $x_n\in I$ yang konvergen ke $p$ , begitupula terdapat barisan turun (decreasing sequence) ${y_n}$ dengan $y_n\in I$ yang konvergen ke $p$ . Karena $f$ terdefinisi pada ${x_n}$ dan ${y_n}$ maka dedefinsikan

$f \left(p\right)=\lim_{x_{n}\rightarrow p}f\left(x_{n}\right)=\lim_{y_{n}\rightarrow p}f\left(y_{n}\right)$ .

Sekarang fungsi cantor terdefinisi pada semua titik $[0,1]$ . Jika digambar grafiknya diperoleh

Grafiknya Menyerupai tangga dengan jumlah anak tangga tak hingga banyak. Itu sebabnya fungsi cantor dijuluki Tangga setan. Jika kita menaiki anak tangga satu persatu, kita tidak akan pernah samapai ke puncak.

Fungsi Cantor kontinyu $[0,1]$ pada mempunyai turunan nol pada $I$ tetapi tidak terturun pada $C$

Note: Dari literatur yang saya baca banyak cara mendefinisikan fungsi Cantor, tapi jangan kwatir ksemua cara tersebut ekuivalen:

Kamis, 01 Desember 2011

Tangga Setan

Fungsi Cantor

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Comment

write here