Fungsi Cantor adalah fungsi yang spesial
karena fungsi tersebut kontinyu, naik dari 0 menuju 1 tetapi memepunyai
turunan nol hampir disemua titik, selain itu fungsi cantor mempunyai
julukan seram yaitu Tangga setan (Devil’s staircase).
Sebelum kita mendefinisikan fungsi Cantor, kita harus mengkontruksikan interval-interval sebagai berikut:
- Diberikan interval tertutup , kemudian bagi menjadi 3 bagian sama panjang lalu hilangkan bagian tengahnya yaitu: interval terbuka .
- Diperoleh 2 interval tertutup dan , lakukan hal serupa kepada 2 interval tertutup tadi, hilangkan interval terbuka dan .
- Interval tersisa adalah dan , lakukan hal serupa, hilangkan interval terbuka dan .
Lanjutkan terus langkah diatas, sampai langkah ke-n, interval yang dihilangkan adalah .
Jika adalah gabungkan semua maka komplemen adalah himpunan Cantor .
Fungsi Cantor
Diberikan fungsi cantor, , yang didefinisikan sebagai berikut:
Contoh:
untuk
untuk
untuk
Fungsi Cantor terdefinisi di tetapi tidak di , supaya fungsi cantor terdefinisi pada semua titik , kita harus membuat fungsi cantor terdefinsi pada . Diberikan maka terdapat barisan naik (increasing sequence) dengan yang konvergen ke , begitupula terdapat barisan turun (decreasing sequence) dengan yang konvergen ke . Karena terdefinisi pada dan maka dedefinsikan
.
Sekarang fungsi cantor terdefinisi pada semua titik . Jika digambar grafiknya diperoleh
Grafiknya Menyerupai tangga dengan jumlah anak tangga tak hingga banyak. Itu sebabnya fungsi cantor dijuluki Tangga setan. Jika kita menaiki anak tangga satu persatu, kita tidak akan pernah samapai ke puncak.
Fungsi Cantor kontinyu pada mempunyai turunan nol pada tetapi tidak terturun pada
Note: Dari literatur yang saya baca banyak cara mendefinisikan fungsi Cantor, tapi jangan kwatir ksemua cara tersebut ekuivalen:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar